案例分析——高級篇：呼叫中心優(yōu)化
在以前的幾篇文章中，我們討論了幾個運營分析中的案例。其中之一就有呼叫中心的訪客分配算法，今天的案例有些相似，但不再是個別的訪客分配而是討論更廣泛的內(nèi)容。我們將使用一個與運籌學(xué)中的運輸算法來解決呼入分配最優(yōu)化問題。
案例研究
你擁有一個含1000個資源（席位）的呼叫中心，每個席位都經(jīng)過了一系列的培訓(xùn)。培訓(xùn)分為ABCDEF系列。例如，A類坐席是指已通過1~6號課程培訓(xùn)的客服人數(shù)，而Ｂ類客服則通過了其它系列課程。各類坐席的分布如下
A : 200
B : 200
C : 100
D : 100
E : 250
F : 150
另外，每天呼入的電話有不同的問詢類型，大致可以分為４類。我們暫稱之為X、Y、Z和W類問詢。問詢的類型可以通過IVR（互動式語音應(yīng)答系統(tǒng)）識別出來，你可以任意指定為這些客戶服務(wù)的坐席。工作日呼入問詢類型的大致分布為：
X : 20%
Y : 30%
Z : 15%
W : 35%
各工作日的呼入類型數(shù)量可能有差別，但各類問詢電話的占比基本是不變的。經(jīng)過相應(yīng)問詢類型的應(yīng)答培訓(xùn)，客服就可以獲得快速解答問詢的技巧。例如，經(jīng)過Ａ類培訓(xùn)的客服可以在10分鐘內(nèi)解答Ｘ類問詢。以下表格給出了經(jīng)過某類培訓(xùn)的客服應(yīng)答某類問詢所需的相應(yīng)時間。
表1 時間成本矩陣
任務(wù)來了，你的建模目標(biāo)就是讓呼叫中心各坐席的總應(yīng)答時間最少。你可以讓坐席經(jīng)過不同類型的培訓(xùn)獲得問詢解答技巧，通過實時監(jiān)督來減少應(yīng)答的時間。但最終，你需要的是一個能做實時呼入分配的自動化系統(tǒng)，以實現(xiàn)所有席位被占用的總應(yīng)答時間最小。
為簡單起見，我們把實際的呼入數(shù)假設(shè)為幾個確定的值。某呼叫中心每天呼入的各類問詢分布如下：
X : 200 個呼入
Y : 300個呼入
Z : 150個呼入
W : 350個呼入
總呼入數(shù) : 1000
這時，客服的數(shù)量與呼入的數(shù)量是完全相等的。即使呼入的總數(shù)會增加，只要呼入問詢的類型保持著穩(wěn)定的比率，我們后面要討論的解決方案仍然是有效。
運輸問題介紹
可以把呼入響應(yīng)優(yōu)化問題用運輸問題模型來解決，解答問詢的時間可以看成是運輸問題中的運輸成本。運輸問題是經(jīng)典的線性規(guī)劃問題，其典型提法是：為了把某種產(chǎn)品從若干個產(chǎn)地調(diào)運到若干個銷地，已知每個產(chǎn)地的供應(yīng)量和每個銷地的需求量，如何在許多可行的調(diào)運方案中，確定一個總運輸費或總運輸量最少的方案。運輸問題的解法有單純形法和表上作業(yè)法，運輸問題的一般解決方案有兩個步驟：
1. 制訂基本可行方案；
2. 找出最優(yōu)方案。
運輸問題的基本可行方案可通過三種方法獲得：
1. 西北角法（最簡單的方法）
2. 最小成本法
3. 罰金成本法（伏格爾法）
西北角法
過程很簡單，每一次都在表格的西北角（左上角）放上最大的可能值，然后劃掉已滿足最大值要求的行或列，再對剩下的表格重復(fù)這一操作即可。比如在下表的左上角應(yīng)該先填上200這個坐席數(shù)，然后劃掉X行和Ａ列。
表2 西北角法初始運算
之所以填200，是因為x類呼入最多有200個，經(jīng)過A類培訓(xùn)的坐席也有200個，因此200是最大的可能值。劃掉Ｘ行和Ａ列后，表的左上角變成了Ｙ行Ｂ列，在這單元格的列向上要求有200個坐席經(jīng)過Ｂ類培訓(xùn)，行向上要求能應(yīng)答300個Ｙ類問題的呼入，因此這一單元格可以填入的最大可能值只能為200。這時列向上的坐席數(shù)滿足了，行向上還差300-200=100個坐席，所以只能把Ｂ列劃掉而要保留Ｙ行。當(dāng)下一個左上角變?yōu)閅行Ｄ列時，我們很容易可以判斷出這一單元格應(yīng)該填入100。以此類推，可以找出所有可靠的坐席分配數(shù)。
表3 西北角法運算結(jié)果
根據(jù)上表的計算結(jié)果和表1成本矩陣，我們可以計算出總的應(yīng)答時長：200×10+200×4+100×9+100×11+50×6+200×4+150×11=7550分鐘。按照這一計算結(jié)果，我們可以將分配方案定為：讓所有受過Ａ類培訓(xùn)的客服應(yīng)答Ｘ類問詢；將33%的Ｙ類問詢分配給受過Ｃ類培訓(xùn)的客服， 66%的Ｙ類問詢分配給受過Ｂ類培訓(xùn)的客服……。顯然，這一方案并不是最優(yōu)的，以下兩種方法可以獲得更少的時間消耗。
最小成本法
最小成本法是另一種有所改進(jìn)的運輸問題算法。在解決坐席-客戶匹配問題時我們先找出平均應(yīng)答時間最少的。比如在本案例中，通過觀察表1的成本矩陣，我們發(fā)現(xiàn)X類客戶與D類坐席匹配耗時最少。所以我們先把最大可能的資源數(shù)匹配給這對組合。由于X類客戶平均有200位，而D類坐席最多只有100位，因此匹配給這對組合的最大可能資源數(shù)為100。
表4 最小成本法初始運算
以此類推，我們依次找出余下成本單元格中的最小值，并將相應(yīng)的最大可能資源數(shù)匹配到那些單元格中去，直到所有資源分配完畢。分配結(jié)果如下表所示：
表5 西北角法運算結(jié)果
總的時間成本為：100×1+100×5+200×4+50×9+50×5+150×2+50×3+50×7+250×4=3900分鐘，與西北角法相比，總耗時減少了將近50%。
罰金成本法
這也是一種對初始分配過程有更多改進(jìn)的算法。首先，我們計算每一行、每一列上最小成本和次小成本的差值，這一差值意味著如果我們沒有選出最小值而會遭受的成本損失，罰金成本法也因此得名（也稱伏格爾法）。其確定初始基本可行解的思路是：罰金成本最高的行或列中成本最低者優(yōu)先考慮。以下為將成本矩陣轉(zhuǎn)化后的罰金成本表（最右側(cè)增加了各行罰金列，最下端增加了各列罰金行）。
表6罰金成本法初始運算
我們發(fā)現(xiàn)最大罰金出現(xiàn)在D列，我們應(yīng)該馬上把該列最大的資源數(shù)分配給這列中的最小成本單元格。接下來，在余下的表格中我們再依次定位罰金最大成本行/列，及其最小的單元格，并進(jìn)行相應(yīng)資源數(shù)的分配（原則依然是不能超過行或列上的資源數(shù)限制）。完成分配后的結(jié)果如下表所示：
表7 罰金成本法運算結(jié)果
累計可得，總的時間成本為4400。可見，這種改進(jìn)方法并不比最小成本法耗時少。這是因為恰好在這個案例中，最小成本法的迭代過程中并沒有出現(xiàn)因未選最低成本而使總成本懲罰性增加的情形。
找出最優(yōu)解
通過上述算法的計算，可以基本斷定最小成本法就是我們要找的最優(yōu)解。但在解決更一般的成本優(yōu)化問題時，往往需要引入進(jìn)一步的討論：最優(yōu)解的判別與解的改進(jìn)。本例中我們不再深入介紹這一過程，留待讀者自行學(xué)習(xí)�？梢蕴崾镜氖�:解的最優(yōu)性檢驗包含閉回路法和位勢法；而從一個方案調(diào)整到最優(yōu)方案的過程，就是單純形法的過程。
“運輸問題”在運籌學(xué)方面應(yīng)用很廣，但在數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域應(yīng)用不多。通過本例，我們可以看到將呼叫響應(yīng)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為運輸問題解決時，所帶來的顯著的成本優(yōu)化。
來源：數(shù)據(jù)科學(xué)家
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